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単振動
難しい項目ではありますが
解く手順がほとんど決まっています。
単振動が出題されたら
"良し "と思えるぐらいに
演習しましょう。
運動方程式
単振動はばねだけではありませんが、ばねを例に説明します。
一般解
単振動の式
2次微分がxに比例する式、
微分方程式は解くことができます。
xがsinの式となり、vは、xの微分なので、
v はcosになります。
sinとcosの微分を習っていない場合は、
教科書、もしくはここで覚えてください。
sinの微分はcos
cosの微分は-sin です。
tの前に係数があると、
微分の時、
その係数が出ます。(置換微分参照)
この微分方程式 の解によって、
単振動は、x、vの式が確定します。
式の、A、 θは初期条件で決まります。
x = sin + cos の形式で書くこともありますが
このサイトでは x= sin( ω t+ θ ) で統一します。
ωは、角速度で、
角度が増える速度になります。
1周 つまり
周期T で、360°になります。
ω については、
運動方程式からm、kの関係があります。
xを単振動の式に入れればよいわけですが、
微分する毎にωが出るので、
2次微分でω^2 となります。
mω^2 = k となります。
大事な式です。
しかし、覚えるというより
2次微分でa = ω^2と
考えたほうが良いでしょう。
ωが出れば、
ωT = 2π より周期も出ます。
単振動は、
運動方程式の作成
初期条件からA、 θを求める事で、
時間に関する位置、速度がわかります。
ほとんどの問題がこの時点で解けます。
まれに、角度が求めにくい
（3角関数が解きずらい）場合、
エネルギー保存則を利用したほうが
計算が楽になる場合もあります。
単振動の式と運動
単振動の場合、
数学的にどんどん解くことになります。
しかし、導いた式が、
単振動にあっているか
式から想像できることも重要です。
計算間違えもチェックできます。
単振動 ⇒ 式
式のグラフです。
位置は、中心から振幅で振動します。
速度は、振幅位置で、０となり、
中心で、速さが最大となります。
速度だと、振動がプラスになる場合
中心で速度最大
振動がマイナスになる場合
中心で速度最小
となります。
時間で見ると、振幅間は
T/2で、
振幅から中心までは
T/4となります。
よくある2例が以下です。
ほとんどの問題がこの2例です。
逆のケース
dを縮めるケースもありますし、
速度も逆ケースもありますが
ほとんど同じです。
実際は式で解きますが、
感覚的に式を想像できるようにしましょう。
中心と書いていますが、
中心は、常に自然長になるわけではありません。
重力、摩擦力などがあると
中心はずれます。
中心 も大事な要素になります。
演習問題の前に、
単振動と式の感覚をつかむ演習をしましょう。
単振動が得意な人は
読み飛ばして演習に進んで下さい。