単振動の演習問題2

単振動演習問題２の解説です。

すべてやや難問です。

このレベルが難なく解ければ

単振動は卒業です。

解説では、パターンを利用して

行いますが、

常に一般解を解く方法でも良いです。

それほど変わりはなので

得意な方法をとってください。

３．単振動演習２

a.

Aだけの、Bにくっつく前の振動を考えます。

ｄ縮めて、静かに放すなので、

位置確定パターンです。

振幅はｄです。

Ｂは位置ｄにあるので、

速度０で衝突し振動することになります。

Ａ，Ｂ連動の運動も

Aがd伸ばして、静かに放すなので、

こちらも位置確定パターンになります。

しかし、振動中心が不明です。

運動方程式を作ります。

これが1)になっています。

A、Bの外力は、それぞれのばねの弾性力です。

位置xでは、Aのばねの伸びはx ,

Bのばねの伸びはAB間がdより

Bのばねの伸びは d-xです。

運動方程式が求められます。

中心が不明なので、ばね定数でくくります。

(k1+k2)x にしてから、(k1+k2)でくくります。

()=0から振動中心を求めます。

これで、位置確定パターン の

振動中心、振動開始位置、速度がわかります。

あとは、問題を解いていけばよいです。

初期の伸ばす長さは

振動中心からの長さなので計算します。

3) 周期なので、 ωの式から周期を計算します。

4) 振幅なので、伸ばした長さになります。

5) 最大速度なので、 xの微分の係数 Aωより求められます。

b.

よく見る問題で、

振動の方向で、摩擦の向きが変わることにより

振動の中心が変化することになります。

振動自体は、速度が０になって振動が変わるから、

位置確定パターンが連続する問題

になります。

また、

摩擦力と、仕事とエネルギーの複合問題になります。

１）摩擦係数をだすので、

静止時と運動時の運動方程式を求めます。

動き出す条件から、

静止摩擦係数は求まります。

動摩擦力の方程式は求まります。

動摩擦力係数を求めるには？

ここでは求まりそうにないので、

問題分をよく読みます。

動いた距離があることに

気が付けば、

仕事とエネルギーの関係を利用すれば

良いことに気づきます。

つまり、

運動エネルギーの変化  =  0は、

外力の ばね、摩擦力の仕事になります。

仕事をそれぞれ計算して

動摩擦係数を求めます。

ばねの位置エネルギーの変化＝

摩擦力の仕事

等でも良いです。

積分組はそのまま計算して求めます。

2) ～5) 単振動の問題です。

2) 運動方程式です。

kでくくって中心を出します。　

振動中心は、x0とx1の中点になりました。

４）、５）は時間なので、

４） は、速度０の時なので、T/2

５）は、中心の時なので、 T/4 とわかります。 

折り返しは、摩擦力が逆方向になります。

同様に運動方程式を求めて

ｋでくくると

中心を求めることができます。

７）は１）を考えれば、向きが変わっても

摩擦力の大きさ、進行方向への向きは同じなので、

摩擦力の移動距離はLになります。

また、運動エネルギーの変化は０なので、

摩擦力の仕事 ＝ ばねの位置エネルギーの変化

とすればよいです。

８）最後の問題です。

折り返しで動くときに、

中心は、xpもしくはxmになります。

単振動の運動は常に

位置確定側になるので、

中心と初期位置から振幅がわかることになります。

振幅がdより小さいと摩擦力により停止します。

これをグラフに描けばよいことになります。

c.

d.